Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu

Fișă de lucru interactivă · Clasa a VIII-a · puncte, drepte, plane · corpuri geometrice · drumuri minime
prof. Lukacs Tiberiu
Ne reamintim: diagonala pătratului cu latura l este l√2; înălțimea triunghiului echilateral este l√32, iar aria lui l2√34; diagonala paralelipipedului dreptunghic este √a2 + b2 + c2, a cubului l√3. Unghiul sectorului obținut prin desfășurarea conului: u = 360° · RG. Drumul minim pe suprafața unui corp se află desfășurând în plan fețele pe care trece.

Corpurile se rotesc dacă le tragi cu degetul sau cu mouse-ul; muchiile ascunse apar punctate. La drumurile minime, „Desfășoară” întinde fețele în plan, apoi „Arată drumul minim” desenează drumul. La exercițiile cu căsuțe: atinge o căsuță, apoi alege cuvântul sau simbolul din listă (sau trage-l în căsuță); atinge din nou căsuța ca s-o golești. „Verifică” colorează răspunsurile.

I. Puncte, drepte, plane

Problema 1.De bază

Stabiliți dacă propozițiile sunt adevărate (A) sau false (F):

  1. a) Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
  2. b) Trei puncte distincte sunt întotdeauna coliniare.
  3. c) Trei puncte necoliniare determină un plan.
  4. d) Două drepte concurente determină un plan.
  5. e) O dreaptă și un punct situat pe ea determină un plan.
  6. f) Dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci dreapta este inclusă în plan.
  7. g) Două plane distincte care au un punct comun au o dreaptă comună.
  8. h) Patru puncte sunt întotdeauna coplanare.
Alege din listă:

Problema 2.De bază

În figură sunt reprezentate planul α, dreptele a și d și punctele A, B, M, P. Completați căsuțele:

  1. a) A α
  2. b) M α
  3. c) a α
  4. d) d α
  5. e) P a
  6. f) d ∩ α =
  7. g) a ∩ d =
  8. h) Punctele A, B, M determină .
Alege din listă:
Trage ca să rotești corpul.

Problema 3.De bază

Completați căsuțele:

  1. a) Un plan este determinat de trei puncte .
  2. b) Un plan este determinat de o dreaptă și un punct dreptei.
  3. c) Un plan este determinat de două drepte .
  4. d) Un plan este determinat de două drepte .
  5. e) Dacă două plane distincte au trei puncte comune, acestea sunt .
  6. f) Două plane distincte care au un punct comun se intersectează după o .
Alege din listă:
Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 1Fișă de lucru

Problema 4.Consolidat

Câte drepte și câte plane sunt determinate de:

  1. a) 4 puncte necoplanare: drepte și plane;
  2. b) 5 puncte coplanare, oricare trei necoliniare: drepte și plan;
  3. c) 5 puncte, oricare patru necoplanare: drepte și plane;
  4. d) trei drepte paralele, necoplanare: plane;
  5. e) trei drepte necoplanare, concurente în același punct: plane;
  6. f) vârfurile unei piramide patrulatere: drepte și plane.
Alege din listă:
Rezolvare

Problema 5.Consolidat

În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, M și N sunt mijloacele muchiilor AB și CD.

  1. a) Numiți trei puncte coliniare din figură.
  2. b) Arătați că punctele M, N, C′, B′ sunt coplanare.
  3. c) Arătați că punctele A, D, N, M sunt coplanare.
  4. d) Aparține punctul A′ planului (MNC′)? Justificați.
  5. e) Intersecția planelor (ABC) și (MNB′) este dreapta .
Alege din listă:
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 6.Consolidat

În piramida patrulateră VABCD, punctele M ∈ VA și N ∈ VB, iar O este punctul de intersecție a diagonalelor bazei.

  1. a) Arătați că dreapta MN este inclusă în planul (VAB).
  2. b) (VAB) ∩ (ABC) =
  3. c) (VAC) ∩ (VBD) =
  4. d) Punctele V, A, B, C, D determină plane.
Alege din listă:
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 2Fișă de lucru

II. Prisme, cubul și paralelipipedul dreptunghic

Problema 7.De bază

Completați tabelul:

Corpulvârfurimuchiifețe
prisma triunghiulară
prisma patrulateră
prisma hexagonală
prisma cu baza un poligon cu n laturi
piramida triunghiulară
piramida patrulateră
piramida hexagonală
piramida cu baza un poligon cu n laturi
    Alege din listă:

    Problema 8.De bază

    Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 4√2 cm. Calculați:

    1. a) lungimea diagonalei feței, AC;
    2. b) lungimea diagonalei cubului, AC′;
    3. c) suma lungimilor tuturor muchiilor;
    4. d) aria unei fețe;
    5. e) perimetrul și aria secțiunii diagonale ACC′A′.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 9.Consolidat

    Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului ABCDA′B′C′D′ este 60 cm.

    1. a) Aflați lungimea muchiei cubului.
    2. b) Calculați lungimea diagonalei cubului.
    3. c) Arătați că triunghiul A′BD este echilateral.
    4. d) Calculați perimetrul și aria triunghiului A′BD.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare
    Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 3Fișă de lucru

    Problema 10.Consolidat

    Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 12 cm, BC = 4 cm și AA′ = 3 cm.

    1. a) Calculați lungimile segmentelor AC și AC′.
    2. b) Calculați sin(∢C′AC).
    3. c) Calculați aria secțiunii diagonale ACC′A′.
    4. d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 11.Consolidat

    Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 8 cm, BC = 6 cm și diagonala AC′ = 10√2 cm.

    1. a) Calculați AC și înălțimea AA′.
    2. b) Calculați lungimea diagonalei AB′ a feței ABB′A′.
    3. c) Calculați tg(∢B′AB).
    4. d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 12.Consolidat

    Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are AB = 12 cm și AA′ = 5 cm.

    1. a) Calculați aria bazei.
    2. b) Calculați lungimea diagonalei AB′.
    3. c) Calculați perimetrul triunghiului AB′C.
    4. d) Calculați sin(∢B′AB) și cos(∢B′AB).
    5. e) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare
    Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 4Fișă de lucru

    Problema 13.Consolidat

    Prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ are AB = 6 cm, iar diagonala unei fețe laterale are 10 cm.

    1. a) Aflați înălțimea prismei.
    2. b) Calculați lungimea diagonalei bazei și a diagonalei prismei.
    3. c) Calculați aria secțiunii diagonale ACC′A′.
    4. d) Calculați tg(∢C′AC).
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 14.Avansat

    Prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are AB = 4 cm și AA′ = 4√3 cm.

    1. a) Calculați perimetrul și aria bazei.
    2. b) Calculați lungimile diagonalelor bazei AD și AC.
    3. c) Calculați lungimile segmentelor AD′ și AC′.
    4. d) Calculați tg(∢D′AD).
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 15.De bază

    Care dintre figurile de mai jos sunt desfășurări ale unui cub?

    desfășurare a)
    a)
    desfășurare b)
    b)
    desfășurare c)
    c)
    desfășurare d)
    d)
    1. a)
    2. b)
    3. c)
    4. d)
    5. e) Desenați desfășurarea unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei de 2 cm și înălțimea de 3 cm.
    Alege din listă:
    Rezolvare
    Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 5Fișă de lucru

    III. Piramide regulate

    Problema 16.De bază

    În piramida patrulateră regulată VABCD din figură, O este centrul bazei, iar M este mijlocul muchiei BC. Completați:

    1. a) VO este , VM este , OM este .
    2. b) VM2 = VO2 +
    3. c) VB2 = VM2 +
    4. d) VB2 = VO2 +
    5. e) dacă AB = l, atunci OM = și OB =
    Alege din listă:
    Trage ca să rotești corpul.

    Problema 17.Consolidat

    Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm; M este mijlocul lui BC.

    1. a) Calculați apotema bazei OM și apotema piramidei VM.
    2. b) Calculați OB și muchia laterală VB.
    3. c) Calculați aria feței VBC.
    4. d) Calculați tg(∢VBC).
    5. e) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 18.Consolidat

    Piramida triunghiulară regulată VABC are AB = 6√3 cm și înălțimea VO = 4 cm; M este mijlocul lui AB.

    1. a) Calculați apotema bazei OM și apotema piramidei VM.
    2. b) Calculați OA și muchia laterală VA.
    3. c) Calculați aria feței VAB.
    4. d) Calculați sin(∢VMO) în triunghiul dreptunghic VOM.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare
    Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 6Fișă de lucru

    Problema 19.Consolidat

    Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile de 6 cm.

    1. a) Calculați apotema piramidei și aria unei fețe laterale.
    2. b) Calculați AC și arătați că triunghiul VAC este dreptunghic isoscel.
    3. c) Calculați înălțimea piramidei.
    4. d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 20.Avansat

    Piramida hexagonală regulată VABCDEF are AB = 6 cm și muchia laterală VA = 3√5 cm; M este mijlocul lui AB.

    1. a) Calculați apotema piramidei VM.
    2. b) Calculați apotema bazei OM și înălțimea VO.
    3. c) Calculați aria feței VAB.
    4. d) Calculați cos(∢VAB).
    5. e) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 21.Avansat

    Tetraedrul regulat VABC are muchia de 6 cm; O este centrul bazei, iar M este mijlocul lui BC.

    1. a) Calculați aria unei fețe.
    2. b) Calculați apotema VM și lungimea segmentului AO.
    3. c) Calculați înălțimea VO.
    4. d) Calculați sin(∢VAO) în triunghiul VAO.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare
    Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 7Fișă de lucru

    Problema 22.Avansat

    Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei de 4 m și înălțimea (stâlpul central) de 1,5 m.

    1. a) Calculați apotema piramidei.
    2. b) Calculați lungimea unei muchii laterale (aproximați la zecimi).
    3. c) Câți metri de sfoară sunt necesari pentru a întări cele patru muchii laterale?
    4. d) Calculați tg(∢VMO).
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    IV. Cilindrul și conul

    Problema 23.De bază

    Cilindrul circular drept din figură are raza R = 6 cm și generatoarea G = 16 cm; ABCD este o secțiune axială.

    1. a) Calculați perimetrul și aria secțiunii axiale.
    2. b) Calculați lungimea diagonalei AC.
    3. c) Calculați sin(∢CAB).
    4. d) Calculați lungimea cercului de bază.
    Trage ca să rotești corpul.
    Rezolvare

    Problema 24.De bază

    Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu aria de 64 cm2. Completați: latura pătratului este , raza este , generatoarea este , diagonala secțiunii axiale este , iar lungimea cercului de bază este .

      Alege din listă:
      Rezolvare

      Problema 25.Consolidat

      Conul circular drept din figură are raza R = 9 cm și generatoarea VA = 15 cm.

      1. a) Calculați înălțimea VO.
      2. b) Calculați perimetrul și aria secțiunii axiale VAB.
      3. c) Calculați sin(∢VAO) și tg(∢VAO).
      4. d) Aflați măsura unghiului sectorului de cerc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale (folosiți butonul „Desfășoară”).
      Desfășoară suprafața laterală. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare
      Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 8Fișă de lucru

      Problema 26.Consolidat

      Secțiunea axială VAB a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu latura de 10 cm.

      1. a) Aflați raza și generatoarea conului.
      2. b) Calculați înălțimea conului.
      3. c) Calculați aria secțiunii axiale.
      4. d) Aflați unghiul sectorului obținut prin desfășurare.
      Desfășoară suprafața laterală. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare

      Problema 27.De bază

      Asociați fiecărei desfășurări corpul corespunzător: a) con circular drept; b) cub; c) cilindru circular drept; d) prismă triunghiulară regulată; e) piramidă patrulateră regulată.

      desfășurarea 1
      1
      desfășurarea 2
      2
      desfășurarea 3
      3
      desfășurarea 4
      4
      desfășurarea 5
      5
      1. a) 1 – ; 2 – ; 3 – ; 4 – ; 5 –
      Alege din listă:

      Problema 28.Consolidat

      Stabiliți dacă propozițiile sunt adevărate (A) sau false (F):

      1. a) Prisma hexagonală are 18 muchii.
      2. b) Piramida pentagonală are 6 vârfuri.
      3. c) Cilindrul circular drept are o singură bază.
      4. d) Diagonala cubului cu muchia de 3 cm are 3√3 cm.
      5. e) Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri.
      6. f) Apotema piramidei regulate este înălțimea bazei.
      7. g) Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel.
      8. h) O piramidă cu 10 muchii are baza un pentagon.
      Alege din listă:
      Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 9Fișă de lucru

      V. Drumuri minime

      Problema 29.Consolidat

      Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 6 cm. O furnică merge de la A la C′ pe fețele ABB′A′ și BCC′B′; drumul ei minim taie muchia BB′ în M.

      1. a) Desfășurați cele două fețe și calculați lungimea drumului minim.
      2. b) Arătați că M este mijlocul muchiei BB′.
      3. c) Calculați lungimea segmentului AM.
      Desfășoară fețele pe care trece drumul. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare

      Problema 30.Consolidat

      O cutie are forma paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm, BC = 4 cm și AA′ = 5 cm. O furnică merge de la A la C′ pe suprafața cutiei.

      1. a) Calculați lungimea drumului minim care trece peste muchia BB′ (traseul 1).
      2. b) Calculați lungimea drumului minim care trece peste muchia A′B′ (traseul 2).
      3. c) Care dintre cele două drumuri este mai scurt?
      4. d) Calculați BP, unde P este punctul în care traseul 1 taie muchia BB′.
      Desfășoară fețele pe care trece drumul. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare

      Problema 31.Consolidat

      Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are AB = 4 cm și AA′ = 9 cm. Un fir pleacă din A, înconjoară o dată prisma pe fețele laterale și ajunge în A′.

      1. a) Desfășurați suprafața laterală.
      2. b) Calculați lungimea minimă a firului.
      3. c) Calculați BP și CQ, unde P și Q sunt punctele în care firul taie muchiile BB′ și CC′.
      Desfășoară fețele pe care trece drumul. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare
      Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 10Fișă de lucru

      Problema 32.Avansat

      Piramida triunghiulară regulată VABC are muchia laterală VA = 6 cm și m(∢AVB) = 40°. O furnică pleacă din A, înconjoară piramida pe fețele laterale și revine în A.

      1. a) Desfășurați suprafața laterală și aflați măsura unghiului AVA1.
      2. b) Calculați lungimea drumului minim al furnicii.
      3. c) Ce fel de triunghi este VPQ, unde P ∈ VB și Q ∈ VC sunt punctele în care drumul minim taie muchiile laterale?
      Desfășoară fețele pe care trece drumul. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare

      Problema 33.Avansat

      Piramida patrulateră regulată VABCD are VA = 12 cm și m(∢AVB) = m(∢BVC) = 45°. Punctul M ∈ VC are VM = 5 cm.

      1. a) Desfășurați fețele VAB și VBC în același plan și aflați m(∢AVM).
      2. b) Calculați lungimea drumului minim de la A la M pe fețele VAB și VBC.
      3. c) Comparați acest drum cu drumul A → B → M. Care este mai lung?
      Desfășoară fețele pe care trece drumul. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare
      Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 11Fișă de lucru

      Problema 34.Avansat

      Un cilindru circular drept are lungimea cercului de bază de 12 cm și înălțimea de 8 cm. Punctul A este pe cercul bazei inferioare, iar C este punctul diametral opus, pe cercul bazei superioare.

      1. a) Desfășurați suprafața laterală și precizați dimensiunile dreptunghiului obținut.
      2. b) Calculați lungimea drumului minim de la A la C pe suprafața laterală.
      3. c) Un fir pleacă din A, face un tur complet și se termină în punctul A1 de pe baza superioară, exact deasupra lui A. Calculați lungimea minimă a firului (butonul albastru).
      Desfășoară suprafața laterală. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare

      Problema 35.Avansat

      Un con circular drept are raza R = 2 cm și generatoarea VA = 12 cm. O furnică pleacă din A și înconjoară conul pe suprafața laterală.

      1. a) Aflați măsura unghiului sectorului de cerc obținut prin desfășurare.
      2. b) Calculați lungimea drumului minim care pleacă din A, înconjoară conul și revine în A.
      3. c) Fie M mijlocul generatoarei VA. Calculați lungimea drumului minim care pleacă din A, înconjoară conul și ajunge în M (butonul albastru).
      Desfășoară suprafața laterală. Trage ca să rotești corpul.
      Rezolvare
      Pregătire pentru lucrare – geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a · pagina 12Fișă de lucru